Что происходит при заряде
Когда ключ замыкается, напряжение на разряженном конденсаторе равно нулю, и всё напряжение источника падает на резисторе. Начальный ток максимален и равен U₀/R. Ток заряжает конденсатор, напряжение на нём растёт, а падение на резисторе уменьшается, поэтому ток постепенно спадает.
Это самоограничивающийся процесс: чем ближе конденсатор к напряжению источника, тем медленнее он заряжается. Поэтому график напряжения круто начинается и плавно приближается к U₀, никогда его не достигая за конечное время.
Формула и постоянная времени
Из закона Ома для цепи следует дифференциальное уравнение R·C·dU/dt = U₀ − U. Его решение при нулевом начальном напряжении имеет вид U(t) = U₀·(1 − e^(−t/τ)), где τ = R·C. Если сопротивление выражено в омах, а ёмкость в фарадах, то τ получается в секундах.
Постоянная времени показывает масштаб процесса. Увеличение сопротивления или ёмкости вдвое замедляет заряд тоже вдвое. Например, резистор 10 кОм и конденсатор 100 мкФ дают τ = 10 000 · 0,0001 = 1 секунда.
Сколько заряжено за n постоянных времени
За время τ напряжение достигает 1 − e⁻¹ ≈ 63,2 % от U₀, за 2τ — 86,5 %, за 3τ — 95,0 %, за 4τ — 98,2 %, за 5τ — 99,3 %. Эти числа полезно помнить: по ним можно быстро оценить, через сколько времени конденсатор будет готов к работе, не прибегая к расчётам.
Для источника 12 В и τ = 1 с напряжение через 1 с составляет около 7,59 В, через 3 с — примерно 11,40 В, через 5 с — 11,92 В. Остаток до полного заряда уменьшается в e ≈ 2,718 раза за каждую постоянную времени, это и есть признак экспоненциального процесса.
Как использовать расчёт при проектировании
Если нужно получить задержку или сгладить пульсации, выбирают R и C так, чтобы τ соответствовала нужному времени. Для задержки включения реле, например, подбирают τ немного меньше требуемой паузы с учётом порога срабатывания. Порог 63 % достигается ровно за τ, а 90 % — примерно за 2,3τ.
Нужно помнить и о токе в начальный момент. При подключении разряженного конденсатора ток ограничивается только сопротивлением, поэтому для большой ёмкости и малого R он может превысить допустимый для источника. Чтобы оценить его, разделите напряжение источника на сопротивление.
Что не учитывает модель
Калькулятор описывает идеальную цепь: источник без внутреннего сопротивления, резистор без индуктивности, конденсатор без утечки. Реальные электролитические конденсаторы имеют допуск ёмкости в десятки процентов и ток утечки, а источник питания — собственное сопротивление, которое добавляется к R и увеличивает τ.
Расчёт относится только к заряду от нулевого напряжения. Разряд конденсатора через резистор описывается другой формулой U(t) = U₀·e^(−t/τ), а если конденсатор уже частично заряжен, начальное напряжение нужно учитывать отдельно. Эти случаи здесь не рассматриваются.
Формула расчёта
τ = R·C; U(t) = U₀·(1 − e^(−t/τ))
Проверенные примеры
Источник 12 В, R = 10 кОм, C = 100 мкФ. Каково напряжение на конденсаторе через 1 с?
τ = 10 000 · 0,0001 = 1 с. Через t = τ напряжение U = 12·(1 − e⁻¹) ≈ 12·0,6321 ≈ 7,585 В, то есть конденсатор заряжен на 63,2 %.
Те же R и C, но через 5 с.
t = 5τ, поэтому U = 12·(1 − e⁻⁵) ≈ 12·0,99326 ≈ 11,919 В — это 99,3 % напряжения источника. Обычно считают, что за 5τ конденсатор заряжен практически полностью.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите напряжение источника в вольтах и сопротивление резистора в омах.
- Переведите ёмкость в фарады (1 мкФ = 0,000001 Ф) и введите её.
- Укажите момент времени в секундах и нажмите «Рассчитать».