Идея метода и вывод уравнений
Второй закон Кирхгофа утверждает, что сумма падений напряжения вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС. Если по контуру условно течёт собственный ток, то по общей ветви идут два контурных тока, и падение на ней определяется их разностью.
Для контура k получается уравнение R_kk·I_k − Σ R_kj·I_j = E_k. В матричной форме это система R·I = E. Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически, поэтому дополнительных уравнений для узлов не нужно.
Как составить матрицу и вектор ЭДС
На диагонали стоит полное сопротивление контура — сумма всех резисторов, которые обходит ток данного контура. Вне диагонали стоит общее сопротивление двух контуров со знаком минус при одинаковом направлении обхода. Матрица получается симметричной для цепей без управляемых источников.
В правую часть записывают алгебраическую сумму ЭДС: источник, включённый по направлению обхода, берётся со знаком плюс, против — со знаком минус. Единицы остаются согласованными: омы, вольты, амперы.
Числовой пример с двумя источниками
Пусть R₁ = 6 Ом и R₂ = 10 Ом лежат в разных контурах, общий резистор R₃ = 4 Ом, E₁ = 12 В, а E₂ = 5 В направлена против обхода. Матрица [[10, −4], [−4, 14]], правая часть [12, −5]. Определитель равен 124, и токи I₁ ≈ 1,1935 А, I₂ ≈ −0,0161 А.
Отрицательное значение I₂ означает, что второй контур на самом деле обтекается против выбранного направления. Через R₃ идёт ток I₁ − I₂ ≈ 1,2097 А, напряжение на нём около 4,839 В. Малая невязка подтверждает, что решение удовлетворяет всем уравнениям.
Частые ошибки при составлении системы
Самая распространённая — забывать минус у общих сопротивлений вне диагонали или выбирать разные направления обхода, не меняя знаки. Тогда система описывает другую цепь, и результат выглядит правдоподобно, но неверен.
Другая ошибка — выбор зависимых контуров. Контуры должны покрывать все ветви, но каждый новый контур включает хотя бы одну ветвь, не вошедшую в предыдущие. Для проверки подставьте найденные токи в баланс мощностей: сумма мощностей источников равна сумме выделяемых на резисторах.
Границы применимости и меры предосторожности
Метод работает для линейных цепей постоянного тока с идеальными источниками. Реальные источники имеют внутреннее сопротивление, которое нужно включить в сопротивление контура, а диоды и транзисторы делают цепь нелинейной.
Результат не заменяет электротехнических нормативов. Для сетей питания и силовых установок выбор сечений, защиты и заземления поручают квалифицированным специалистам; страница предназначена для учёбы и предварительных прикидок слаботочных схем.
Как проверить найденные токи и где применить метод
Проверьте решение подстановкой в исходные уравнения: невязка должна быть близка к нулю, а баланс мощностей — выполняться. Мощность источников равна сумме ЭДС, умноженных на токи через них, а на резисторах выделяется сумма R·I² по всем ветвям.
Метод применяют при анализе мостовых схем, делителей с несколькими источниками, учебных задач на постоянный ток и при предварительном расчёте слаботочных узлов. Для трёх и более контуров удобно сначала нарисовать схему и пронумеровать контуры, чтобы не запутаться в знаках.
Формула расчёта
R · I = E
Проверенные примеры
R₁ = 6 Ом, R₂ = 10 Ом, общий R₃ = 4 Ом, E₁ = 12 В, E₂ = 5 В направлена против обхода.
Матрица [[10, −4], [−4, 14]], вектор [12, −5]. Решение: I₁ ≈ 1,1935 А, I₂ ≈ −0,0161 А. Ток через R₃ равен I₁ − I₂ ≈ 1,2097 А.
Матрица [[8, −3], [−3, 8]], ЭДС [5, 5].
Контуры одинаковы, поэтому I₁ = I₂ = 5 / 5 = 1 А, а через общую ветвь ток не течёт.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите независимые контуры и одинаковое направление обхода, например по часовой стрелке.
- Сформируйте матрицу: на диагонали сумма сопротивлений контура, вне диагонали — общее сопротивление со знаком минус.
- Запишите алгебраические суммы ЭДС по обходу каждого контура, учитывая направление источников.
- Нажмите «Вычислить»; отрицательный ток означает движение против выбранного обхода.