Пять способов задать треугольник
Треугольник определяется тремя независимыми данными, но не любыми. Три стороны (SSS), две стороны и угол между ними (SAS), два угла и сторона между ними (ASA) или против одного из них (AAS) однозначно задают фигуру. Особый случай — две стороны и угол, лежащий против одной из них (SSA): здесь возможны два решения, одно или ни одного.
Калькулятор принимает любой из пяти наборов и сам выбирает нужную теорему. Лишние поля скрываются, поэтому форма всегда содержит только те данные, которые действительно нужны. Углы можно вводить в градусах или в радианах, а в результате они выводятся в градусах для удобства чтения.
Теоремы косинусов и синусов
Если известны три стороны или две стороны с углом между ними, применяется теорема косинусов: a² = b² + c² − 2bc·cos A. Она работает для любых треугольников, а не только для остроугольных, и сама подсказывает, тупой угол или острый — по знаку косинуса.
Когда даны углы, неизвестные стороны выводятся из теоремы синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R. Третий угол находится как 180° минус два заданных, поэтому сумма двух углов обязана быть меньше развёрнутого угла — иначе калькулятор сообщит, что такого треугольника нет.
Случай SSA: два треугольника или ни одного
При данных a, b и угле A против стороны a вычисляется величина b·sin A / a. Если она больше единицы, стороны слишком коротки и треугольник не существует. Равенство единице даёт прямоугольный треугольник, а значение меньше единицы допускает два угла B: острый и тупой.
Второе решение появляется, когда сторона a короче b, но длиннее высоты b·sin A. Калькулятор показывает оба треугольника во второй таблице, а переключатель «какое решение показывать» выбирает, для какого из них считать подробные метрики. Если a не меньше b, остаётся единственный вариант.
Площадь, высоты, радиусы и медианы
Площадь находится как половина произведения двух сторон на синус угла между ними, высота к стороне — как удвоенная площадь, делённая на эту сторону. Радиус описанной окружности равен abc / (4S), радиус вписанной — отношению площади к полупериметру. Эти величины нужны при проектировании ферм, раскрое и межевании.
Дополнительные параметры добавляют медианы, длины которых выражаются через стороны, и расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей по формуле Эйлера d² = R(R − 2r). В таблице по вершинам также приводятся биссектрисы, так что одним расчётом получается весь набор «замечательных» отрезков.
Типичные ошибки при вводе
Самая частая ошибка — смешать градусы и радианы: угол 1,2 в режиме градусов даёт почти вырожденный треугольник. Вторая — неверно сопоставить угол и сторону: угол A всегда лежит напротив стороны a, а угол C заключён между сторонами a и b. В подсказках к полям это указано явно.
Для проверки результата достаточно сложить три угла и убедиться, что получилось 180°, а затем проверить неравенство треугольника для найденных сторон. Если ваше решение из учебника отличается от калькулятора в случае SSA, проверьте, не пропущен ли второй треугольник — в ответах задачников его часто опускают.
Формула расчёта
a² = b² + c² − 2bc·cos A; a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R; S = ½·a·b·sin C; r = S/p
Проверенные примеры
Известны три стороны 3, 4, 5.
Прямоугольный: углы 36,8699°, 53,1301° и 90°, площадь 6, R = 2,5, r = 1.
a = 7, b = 9, угол между ними C = 35°.
Третья сторона вычисляется по теореме косинусов, площадь ½·7·9·sin 35° ≈ 18,07.
a = 7, b = 10, A = 30°.
Два треугольника: с острым и с тупым углом B, у них разные стороны c и площади.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите набор известных данных и единицы углов.
- Введите значения сторон и углов в появившиеся поля.
- Для случая SSA при двух решениях выберите, какое показывать подробно.
- Прочитайте метрики, а во второй таблице сравните оба решения, если они есть.