Формула шнуровки и её смысл
Для вершин (x₁; y₁), (x₂; y₂), …, (xₙ; yₙ) площадь равна S = ½ · |Σ (xᵢ · yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ · yᵢ)|, где после последней вершины снова идёт первая. Каждое слагаемое — удвоенная знаковая площадь треугольника, образованного ребром и началом координат.
Знаки площадей зависят от направления обхода, но в сумме части вне фигуры взаимно вычитаются, и остаётся площадь многоугольника. Абсолютное значение нужно, чтобы результат не зависел от того, шли вы по часовой стрелке или против неё.
Как правильно вводить вершины
Пронумеруйте вершины подряд вдоль контура. Запишите все абсциссы в первое поле, а ординаты — во второе в том же порядке. Если в первом поле 6 чисел, то и во втором должно быть 6; иначе калькулятор сообщит о несоответствии.
Начальная вершина не повторяется в конце списка: замыкание контура выполняется автоматически. Единицы измерения для X и Y должны совпадать, а площадь получится в квадратных единицах. Для участка в метрах результат будет в м², а для пикселей — в пикселях в квадрате.
Разбор примеров
Для прямоугольника с вершинами (0; 0), (4; 0), (4; 3), (0; 3) получаем слагаемые 0, 12, 12, 0. Сумма 24, площадь 12, периметр 14. Тот же результат даёт обход в обратную сторону. Если сдвинуть фигуру на 1000 единиц вправо и вверх, площадь не изменится, так как формула инвариантна к сдвигу.
«Домик» с вершинами (0; 0), (6; 0), (6; 4), (3; 6), (0; 4) состоит из прямоугольника 6 × 4 и треугольника с основанием 6 и высотой 2. Площадь равна 24 + 6 = 30, а периметр 6 + 4 + 2√13 + 4 ≈ 21,21. Для буквы Г из шести вершин площадь складывается из двух частей и равна 12.
Какие фигуры калькулятор отклоняет
Если рёбра пересекаются, например вершины введены в порядке, который образует «бабочку», площадь по формуле Гаусса теряет геометрический смысл: части фигуры вычитаются друг из друга. Калькулятор проверяет такие случаи и просит исправить порядок вершин.
Вырожденные контуры, у которых все точки лежат на одной прямой, тоже отклоняются, поскольку их площадь практически равна нулю. Допускается от трёх до ста вершин, что хватает для большинства участков, чертежей и учебных задач.
Практические применения
В кадастре и землеустройстве площадь участка нередко считают по координатам поворотных точек границы. В строительстве так оценивают площадь пятна застройки, а в компьютерной графике — размер многоугольной области для расчётов заливки и столкновений.
Если координаты получены в географических градусах, формула даст нереальные значения: нужны проекция и метры. Для небольших участков используйте местную систему координат либо спроецируйте данные заранее, а затем вводите их в калькулятор.
Формула расчёта
S = ½ × |Σ (xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|
Проверенные примеры
Вершины (0;0), (4;0), (4;3), (0;3).
Сумма (xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ) = 0 + 12 + 12 + 0 = 24, площадь 12, периметр 14.
Вершины (0;0), (6;0), (6;4), (3;6), (0;4).
Площадь 30 (прямоугольник 6 × 4 и треугольник 6 × 2 / 2), периметр 14 + 2√13 ≈ 21,21.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Пронумеруйте вершины подряд вдоль контура, по часовой стрелке или против неё.
- Запишите все X в первое поле, а все Y — во второе, сохраняя порядок вершин.
- Нажмите «Рассчитать»: получите площадь, периметр и число вершин.