Геометрия задачи
Обход по сторонам образует два катета, а путь напрямик — гипотенузу прямоугольного треугольника. Угол между сторонами площадки прямой, поэтому работает теорема Пифагора: d² = a² + b².
Из неё следует d = √(a² + b²). Диагональ всегда короче обхода a + b, потому что в треугольнике сторона меньше суммы двух других.
Площадка 30 × 40 м
Для сторон 30 и 40 м диагональ равна √(900 + 1600) = √2500 = 50 м. Обход по краю имеет длину 70 м, экономия составляет 20 м, а это 28,6 % от длины обхода.
Тройка 3–4–5 выбрана не случайно: все числа целые, и результат проверяется в уме. Любая площадка со сторонами, кратными 3 и 4, даёт такие же красивые числа: 60 × 80 м даёт диагональ 100 м и экономию 40 м.
Как форма влияет на экономию
Квадратная площадка 10 × 10 м даёт диагональ 14,14 м при обходе 20 м, экономия составляет 5,86 м, или около 29,3 %. Это максимум относительной экономии для прямоугольника.
Чем сильнее вытянут участок, тем меньше выигрыш. Для площадки 5 × 12 м диагональ равна 13 м, обход 17 м, экономия 4 м, то есть 23,5 %. Для узкой полосы 20 × 99 м диагональ около 101 м, обход 119 м, и экономия, около 18 м, составляет примерно 15 % обхода.
Как пользоваться результатом
Экономию удобно перевести в шаги или время. Если средний шаг около 0,7 м, то 20 м экономии — это примерно 29 шагов. Для оценки времени разделите экономию на привычную скорость ходьбы.
Тот же расчёт полезен при прокладке коммуникаций по открытой местности, выборе маршрута на плане и проверке прямоугольности разметки: у ровной разметки обе диагонали одинаковы.
Как проверить прямоугольность и результат
Прежде чем считать, убедитесь, что площадка действительно прямоугольная. Для этого измерьте обе диагонали: у прямоугольника они равны. Если длины отличаются больше чем на несколько сантиметров, углы не прямые, и формула Пифагора даст приблизительный результат.
Самопроверка результата проста: диагональ должна быть больше любой из сторон и меньше их суммы. Для 30 × 40 м диагональ 50 м больше 40 м и меньше 70 м. Если получилось иначе, проверьте, не перепутаны ли единицы длины.
Ограничения расчёта
Формула описывает идеальный прямоугольник. Клумбы, ограждения, уклоны и неровности делают реальный путь длиннее. Кроме того, ширина тропы и необходимость поворотов в реальности не учитываются.
Вместе с гипотенузой калькулятор выводит площадь и периметр треугольника. К задаче о пути они не нужны; для расчёта берите значение «Гипотенуза».
Формула расчёта
d = √(a² + b²), выигрыш = a + b − d
Проверенные примеры
Сколько метров экономит путь по диагонали вместо обхода?
d = √(900 + 1600) = 50 м. Обход 30 + 40 = 70 м, экономия 20 м, или 28,6 % от обхода.
Какова диагональ и что даёт срезание угла?
d = √200 = 14,142 м. Обход 20 м, экономия 5,858 м, около 29,3 %.
Выгодно ли идти по диагонали?
d = 13 м, обход 17 м, экономия 4 м (23,5 %).
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Измерьте две соседние стороны площадки и впишите их в метрах.
- Нажмите «Вычислить»: значение «Гипотенуза» — длина диагонали.
- Сложите две стороны и вычтите диагональ: так получится экономия в метрах.
- Разделите экономию на длину обхода, чтобы получить её долю в процентах.