Формула и смысл вычисления
Если узлы x₀ < x₁ < … < xₙ и в них известны значения y₀, y₁, …, yₙ, то интеграл приближённо равен сумме (xᵢ − xᵢ₋₁)·(yᵢ + yᵢ₋₁)/2. Каждое слагаемое — площадь одной трапеции: полусумма оснований на высоту, которой служит ширина интервала.
На равномерной сетке с шагом h формула сворачивается к виду h·(y₀/2 + y₁ + … + yₙ₋₁ + yₙ/2): внутренние значения входят с весом h, а крайние — с весом h/2. Для неравномерной сетки такого сокращения нет, поэтому калькулятор суммирует интервалы по отдельности.
Числовой пример на неравномерной сетке
Возьмём f(x) = x² и узлы 0, 1, 2, 4, 7. Значения функции: 0, 1, 4, 16, 49. Четыре трапеции дают 0,5 + 2,5 + 20 + 97,5 = 120,5. Точный интеграл от 0 до 7 равен 343/3 ≈ 114,333, то есть приближение завышено примерно на 6,2.
Завышение не случайно: парабола выпукла, и хорда лежит выше графика. Для вогнутой функции хорда проходит ниже графика, и трапеции занижают результат. По знаку второй производной можно заранее понять, в какую сторону ошибётся метод.
Оценка погрешности
Для одного интервала шириной h погрешность метода равна −h³·f″(ξ)/12, где ξ лежит внутри интервала. На равномерной сетке на отрезке длиной L суммарная ошибка не превосходит L·h²·max|f″|/12. Значит, при уменьшении шага вдвое ошибка падает примерно вчетверо.
Проверим на f(x) = x² на отрезке [0; 2] с шагом 0,5. Формула даёт 0,5·(0/2 + 0,25 + 1 + 2,25 + 4/2) = 2,75, точное значение 8/3 ≈ 2,6667, ошибка 0,0833. Оценка 2·0,25·2/12 ≈ 0,0833 совпадает: для квадратичной функции f″ постоянна, и оценка точна.
Когда нет формулы, только измерения
Метод особенно полезен для данных датчиков и опытов. Если скорость измерена в моменты 0, 2 и 5 секунд и равна 0, 6 и 6 м/с, путь равен 2·(0+6)/2 + 3·(6+6)/2 = 24 м. Аналогично по расходу воды в литрах в минуту находят объём, по мощности в киловаттах — энергию.
Измерения не обязаны идти через равные промежутки. Сгущайте точки там, где величина быстро меняется, и разрежайте там, где график почти прямой: так достигается нужная точность при меньшем числе замеров.
Ограничения и типичные ошибки
Метод не видит того, что происходит между узлами: пик, попавший между двумя замерами, будет потерян. Результат отражает данные, а не неизвестную функцию, поэтому на сильно колеблющихся сигналах нужен более частый шаг или другой метод.
Частые ошибки при вводе: значения X не по возрастанию, разное количество узлов и значений Y, запятая в роли десятичного разделителя внутри списка. В списке числа разделяются пробелом или точкой с запятой, а дробная часть записывается точкой.
Формула расчёта
∫ f(x)dx ≈ Σ (xᵢ − xᵢ₋₁)·(yᵢ + yᵢ₋₁) / 2
Проверенные примеры
Для f(x) = x² заданы узлы 0, 1, 2, 4, 7 и значения 0, 1, 4, 16, 49. Оцените интеграл на отрезке [0; 7].
Площади трапеций: 1·(0+1)/2 = 0,5; 1·(1+4)/2 = 2,5; 2·(4+16)/2 = 20; 3·(16+49)/2 = 97,5. Сумма 120,5. Точное значение 7³/3 ≈ 114,33, метод завысил его, так как парабола выпукла.
Скорость измерена в моменты 0, 2, 5 с: 0, 6, 6 м/с. Какой путь пройден?
2·(0+6)/2 + 3·(6+6)/2 = 6 + 18 = 24 м.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите узлы X по возрастанию, разделяя числа пробелами.
- Введите значения Y для каждого узла в том же порядке.
- Нажмите «Рассчитать» и прочитайте приближённый интеграл, число интервалов и длину отрезка по X.