Идея метода и теорема о промежуточном значении
Если непрерывная функция на левом конце отрезка отрицательна, а на правом положительна, то где-то внутри она обязательно обращается в ноль. Это утверждение называется теоремой о промежуточном значении. Многочлены непрерывны всюду, поэтому условие выполняется автоматически, нужно лишь найти подходящий отрезок.
Бисекция использует эту гарантию. Отрезок делится пополам, значение считается в середине, и для дальнейшей работы выбирается половина, на концах которой знаки снова различны. Корень остаётся внутри отрезка, а сам отрезок сжимается вдвое на каждом шаге.
Пример: корень из двух
Решим x² − 2 = 0 на отрезке [0; 2]. Значения на концах: P(0) = −2 и P(2) = 2, знаки разные. Середина равна 1, P(1) = −1, значит, корень правее, и остаётся отрезок [1; 2]. Следующая середина 1,5 даёт P = 0,25 > 0, и корень оказывается в [1; 1,5].
После нескольких десятков шагов длина отрезка становится порядка 10⁻¹², а середина совпадает с √2 ≈ 1,414213562. Таким образом, метод одновременно считает значение квадратного корня без специальной функции, что и делали вычислители задолго до появления калькуляторов.
Сколько шагов потребуется
После n шагов длина отрезка равна исходной длине, делённой на 2ⁿ. Чтобы получить точность 10⁻¹² на отрезке длины 2, нужно примерно 41 шаг, а для точности 10⁻⁶ достаточно около 21. Число выполненных шагов калькулятор выводит вместе с результатом.
Скорость сходимости не зависит от вида многочлена, в этом и сила метода, и его слабость: он не ускоряется, когда функция ведёт себя хорошо. Метод Ньютона быстрее, но может расходиться, тогда как бисекция при смене знака сходится всегда.
Почему расчёт может быть отклонён
Самая частая причина — отсутствие смены знака на концах. Это означает, что на отрезке либо нет корней, либо их чётное количество, либо корень имеет чётную кратность, как у x² при x = 0. Попробуйте вычислить многочлен в нескольких точках и выбрать пару с разными знаками.
Вторая причина — слишком большая невязка. После завершения шагов калькулятор проверяет |P(x)| относительно масштаба коэффициентов и отклоняет результат, если он выглядит недостоверно. Это защищает от вывода неверного корня при переполнении или некорректном вводе.
Как вводить многочлен
Коэффициенты записываются от свободного члена к старшему. Для x³ − x − 1 введите «-1 -1 0 1»: свободный член −1, при x коэффициент −1, при x² — ноль, при x³ — единица. Нулевые коэффициенты пропускать нельзя, иначе степени сместятся.
Границы отрезка должны удовлетворять условию «левая меньше правой» и по модулю не превышать 10 000. Если ищутся все вещественные корни, разбейте область на несколько отрезков и запустите расчёт для каждого из них отдельно.
Формула расчёта
c = (a + b) / 2; оставить ту половину, где P меняет знак
Проверенные примеры
Найдите положительный корень уравнения x² − 2 = 0 на отрезке [0; 2].
P(0) = −2 < 0, P(2) = 2 > 0, поэтому корень внутри. Деление пополам сходится к 1,41421356…, то есть к √2.
Найдите корень x³ − x − 1 = 0 на отрезке [1; 2].
P(1) = −1, P(2) = 5: знак меняется. Бисекция даёт корень около 1,3247.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Впишите коэффициенты от свободного члена к старшему: для x² − 2 это «-2 0 1».
- Задайте отрезок, на концах которого многочлен имеет разные знаки.
- Нажмите «Рассчитать» и проверьте невязку: она должна быть близка к нулю.