Формула линейной интерполяции
Пусть известны два узла (x₁; y₁) и (x₂; y₂), а искомая точка x лежит между ними. Прямая через узлы задаёт значение y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Дробь (x − x₁) / (x₂ − x₁) показывает, какую долю пути от левого узла до правого мы прошли.
Если точка находится ровно посередине, доля равна одной второй, и результат — среднее арифметическое y₁ и y₂. Если точка совпадает с левым узлом, доля равна нулю и получается y₁, а у правого узла — y₂.
Пошаговый пример по таблице
Допустим, в таблице значений X = 1, 2, 4, 8, а Y = 10, 20, 50, 90. Нужно найти Y при X = 5. Сначала определяем отрезок: пять лежит между узлами 4 и 8. Затем считаем долю пути (5 − 4) / (8 − 4) = 0,25 и умножаем её на разность значений 90 − 50 = 40. Получаем прирост 10 и итог 50 + 10 = 60.
Обратите внимание, что соседние узлы 2 и 4 в расчёте не участвуют: линейная интерполяция опирается только на ближайшую пару слева и справа. Поэтому точность зависит от того, насколько плотно расположены именно эти два узла.
Когда метод точен, а когда нет
Если исходная зависимость действительно линейна, интерполяция даёт точный результат при любом расстоянии между узлами. Для плавных кривых погрешность растёт пропорционально кривизне и квадрату длины отрезка: уменьшив шаг таблицы вдвое, вы уменьшите ошибку примерно в четыре раза.
Для зависимостей с изломами, скачками или быстрыми колебаниями линейная интерполяция может оказаться грубой. Для степенных и экспоненциальных процессов иногда разумнее интерполировать не сами значения, а их логарифмы, но такой режим в этом калькуляторе не предусмотрен.
Почему нельзя выходить за таблицу
Продолжение прямой за крайний узел называют экстраполяцией. Оно предполагает, что тенденция не изменится, но данных для такого вывода у нас нет. Поэтому при вводе точки левее первого или правее последнего узла калькулятор сообщает об ошибке, а не подставляет правдоподобное число.
Если экстраполяция вам действительно нужна, примите это решение осознанно: оцените диапазон, в котором закономерность сохраняется, и считайте ответ прикидкой, а не измерением.
Как подготовить таблицу
Значения X вводятся строго по возрастанию, без повторов, а количество значений Y должно совпадать с количеством X. Разделителем может быть пробел, запятая или перенос строки. Допускается от 2 до 100 узлов, значения по модулю не должны превышать миллиард.
Перед расчётом проверьте единицы измерения: если X — температура в градусах, а точка задана в кельвинах, результат окажется бессмысленным. В ответе показаны левый и правый узлы, поэтому легко убедиться, что выбран нужный отрезок таблицы.
Формула расчёта
y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Проверенные примеры
В таблице X = 1, 2, 4, 8 и Y = 10, 20, 50, 90. Найдите Y при X = 5.
Точка лежит между узлами 4 и 8: y = 50 + (5 − 4) · (90 − 50) / (8 − 4) = 50 + 10 = 60.
Узлы (2; 20) и (4; 50). Найдите значение при X = 3.
y = 20 + (3 − 2) · 30 / 2 = 35: в середине отрезка получается среднее арифметическое значений 20 и 50.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Впишите значения X из таблицы строго по возрастанию.
- Впишите соответствующие значения Y в том же порядке.
- Укажите точку X внутри таблицы и нажмите «Рассчитать».