Какой метод выбрать
Бисекция гарантированно сходится, если на концах отрезка функция имеет разные знаки, но уменьшает неопределённость только вдвое за шаг. Метод ложного положения использует линейную интерполяцию и часто быстрее, но на выпуклых функциях может «застревать» на одном конце. Секущие и Ньютон работают без отрезка, зато требуют хорошего начального приближения.
Ньютон сходится квадратично: число верных знаков примерно удваивается на каждом шаге, если корень простой и старт достаточно близок. Секущие обходятся без производной и имеют порядок около 1,618. Калькулятор показывает порядок выбранного метода и таблицу итераций, чтобы это было видно на конкретной задаче.
Шаблоны функций вместо формулы
Уравнение f(x) = 0 задаётся одним из семи шаблонов: многочлен третьей степени, синусоида, экспонента, степень, дробь, корень или логарифм. Параметры a, b, c, d позволяют описать большинство прикладных зависимостей, а производная для метода Ньютона вычисляется аналитически, без численного дифференцирования.
Сдвиг на d превращает любое уравнение вида g(x) = k в задачу поиска нуля: достаточно взять d = −k. Так вы решаете, например, e^(0,5x) = 7 или 3·ln(2x + 1) = 4 без ручных преобразований. Область определения функции проверяется перед расчётом.
Критерии остановки и точность
Для бисекции итерации прекращаются, когда половина длины отрезка не превосходит заданной точности. Для остальных методов достаточно, чтобы либо модуль значения функции, либо размер последнего шага был не больше допуска. Точность выбирается от тысячных до двенадцатого знака.
Если за разрешённое число итераций условие не выполнено, калькулятор честно сообщает, что сходимость не достигнута, и показывает последнюю точку. Это важная защита: молчаливо выдавать неточный корень за точный нельзя. Увеличьте лимит итераций или смените метод и начальное приближение.
Сканирование: найти все корни на отрезке
В режиме сканирования отрезок делится сеткой, и на каждом шаге со сменой знака корень уточняется бисекцией. Так находятся сразу все простые корни, например три корня кубического уравнения или несколько точек пересечения синусоиды с осью.
Метод не видит касаний оси без смены знака и пар корней, попавших в один шаг сетки. Увеличьте число узлов, если подозреваете близкие корни. Минимум и максимум функции на сетке показываются отдельно и помогают понять, пересекает ли график ось вообще.
Сравнение методов на вашей задаче
Переключатель сравнения запускает все четыре метода с одними и теми же исходными данными и выводит корень, число итераций и остаточное значение функции в одной таблице. Для учебных задач это самый быстрый способ увидеть, насколько Ньютон опережает бисекцию.
Если метод недоступен для выбранных данных, например бисекция без смены знака, он помечается в таблице, а не прерывает расчёт. Классический пример для проверки — уравнение x³ − 2x − 5 = 0 с корнем около 2,0945515, на котором исторически демонстрировали метод Ньютона.
Формула расчёта
Бисекция: x = (a + b)/2; Ньютон: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ); секущие: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)(xₙ − xₙ₋₁)/(f(xₙ) − f(xₙ₋₁))
Проверенные примеры
Бисекция на отрезке [2; 3], точность 10⁻⁶.
Корень ≈ 2,094552 после 20 итераций (точное значение 2,0945515).
Старт x₀ = 2, точность 10⁻¹².
Корень 2,09455148 найден за 4 итерации благодаря квадратичной сходимости.
Сканирование [0; 4], 100 узлов.
Три корня: 1, 2 и 3, сумма 6.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите функцию и задайте параметры a, b, c, d.
- Укажите границы отрезка или начальные приближения.
- Выберите метод, точность и предел итераций либо режим сканирования.
- Изучите таблицу итераций и сравнение методов.