Идея метода трапеций
Площадь под графиком скорости равна пути. Между двумя соседними замерами график заменяют отрезком прямой, и фигура под отрезком становится трапецией с основаниями vᵢ и vᵢ₊₁ и высотой tᵢ₊₁ − tᵢ.
Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту. Складывая площади всех трапеций, получаем общую оценку пути за весь промежуток.
Формула и обозначения
Итоговая формула: s ≈ Σ (tᵢ₊₁ − tᵢ)·(vᵢ + vᵢ₊₁)/2. Суммирование идёт по всем соседним парам замеров. Единицы пути — произведение единиц скорости на единицы времени.
Дополнительно калькулятор показывает число интервалов и общую длительность. Они помогают убедиться, что введены нужные данные и все замеры учтены.
Разобранный пример
Скорости 0, 4, 9, 11 измерены в моменты 0, 5, 10 и 15. Три трапеции дают 10, 32,5 и 50. Сумма равна 92,5 — оценка пути за 15 единиц времени.
Для неравномерных интервалов — моменты 0, 2, 6 и скорости 3, 3, 7 — вклад равен 6 + 20 = 26. Видно, что более длинный интервал вносит больший вклад.
Точность и источники погрешности
Для линейно меняющейся скорости метод абсолютно точен. Например, равномерное разгонное движение от 0 до 20 за 10 с даёт 100, как и формула S = vt/2. Для квадратичного закона v = t² на отрезке 0–4 трапеции дают 22, тогда как точный интеграл равен 21,33.
Погрешность систематична для выпуклых графиков: при выпуклой вниз функции трапеции завышают результат. Уменьшить её можно, сгустив замеры там, где скорость меняется быстрее.
Практические замечания
При работе с данными датчиков следите за синхронностью времени и единицами. Скорость в км/ч и время в секундах дадут бессмысленный результат; приведите их к согласованным единицам, например к м/с и секундам.
Выбросы в данных датчика приводят к ложным пикам скорости. Перед расчётом просмотрите таблицу и исключите явные ошибки измерений.
Когда нужны другие методы
Если замеры равноотстоящие и гладкие, точнее оказывается метод Симпсона, использующий параболы вместо отрезков. Для данных со скачками или шумом полезна предварительная фильтрация.
Метод трапеций остаётся простым и надёжным базовым выбором, особенно когда формулы скорости нет и важно получить быструю обоснованную оценку.
Подготовка данных для расчёта
Убедитесь, что моменты времени строго возрастают и что число скоростей совпадает с числом моментов. Несовпадение списков — самая частая причина ошибки при вводе таблицы.
Если интервалы между замерами сильно различаются, это не проблема для метода трапеций, но следите, чтобы редкие замеры не пропускали быстрые изменения скорости.
Сравните результат с грубой оценкой: средняя скорость, умноженная на длительность, должна быть сопоставима с ответом.
Если данные содержат паузы или остановки, добавьте в таблицу замеры с нулевой скоростью в их начале и конце, иначе метод трапеций сгладит остановку линейным переходом и переоценит путь.
Для контроля удобно построить график: ломаная линия по точкам покажет, нет ли ошибочных значений, резко выбивающихся из общей картины.
Формула расчёта
s ≈ Σ (tᵢ₊₁ − tᵢ)·(vᵢ + vᵢ₊₁) / 2
Проверенные примеры
Скорости 0, 4, 9, 11 в моменты 0, 5, 10, 15 с. Найти путь.
5·(0 + 4)/2 + 5·(4 + 9)/2 + 5·(9 + 11)/2 = 10 + 32,5 + 50 = 92,5.
Моменты 0, 2, 6, скорости 3, 3, 7.
2·(3 + 3)/2 + 4·(3 + 7)/2 = 6 + 20 = 26.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите моменты времени в порядке возрастания.
- Запишите скорость в каждый момент в том же порядке.
- Введите оба списка и нажмите «Вычислить».
- Проверьте единицы: путь получится в единицах «скорость × время».