Простое или составное: как проверяется число
Число называют простым, если оно делится только на единицу и на само себя. Калькулятор делит n на последовательность простых чисел до корня из n: если ни одно не подошло, число простое. Для значений до ста миллиардов такая проверка выполняется мгновенно, а результат точный — никаких вероятностных тестов и округлений.
Рядом с признаком простоты выводятся ближайшие простые сверху и снизу. Они полезны при выборе размера хеш-таблицы, модуля для генератора псевдослучайных чисел или шага в расписании, где важно, чтобы период не имел общих делителей с другими циклами.
Каноническое разложение и всё, что из него следует
Любое натуральное число однозначно записывается как произведение степеней простых: 360 = 2³ × 3² × 5. Из такой записи без перебора получаются количество делителей τ(n) как произведение показателей, увеличенных на единицу, сумма делителей σ(n) и функция Эйлера φ(n), которая считает числа, взаимно простые с n.
По соотношению σ(n) и 2n число относят к совершенным, избыточным или недостаточным. Совершенные числа редки: 6, 28, 496, 8128. Включив дополнительные параметры, вы увидите ещё функцию Мёбиуса, число различных простых делителей и признак бесквадратности — они нужны в теории чисел и в задачах на подсчёт.
НОД и НОК для целого списка чисел
Режим списка принимает от двух до сорока натуральных чисел, разделённых пробелами, строками или точкой с запятой. Наибольший общий делитель ищется последовательным применением алгоритма Евклида, наименьшее общее кратное — через формулу НОК(a, b) = a·b / НОД(a, b), примененную по цепочке, чтобы промежуточные значения не переполнялись.
Типичные применения: привести дроби к общему знаменателю, найти период, через который совпадут несколько циклических процессов, или сократить набор размеров до общего модуля. Проверка попарной взаимной простоты подсказывает, можно ли применять китайскую теорему об остатках к набору модулей.
Системы счисления от двоичной до тридцатеричной
Для перевода число сначала разворачивается в десятичное значение по схеме Горнера, а затем делится на основание целевой системы, и остатки записываются в обратном порядке. Цифры от 10 до 35 обозначаются латинскими буквами A–Z, поэтому доступны все основания от 2 до 36, включая привычные двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
Калькулятор сразу показывает число бит, длину записи и таблицу представления в восемнадцати системах. Ошибкой считается цифра, недопустимая для выбранного основания, например «8» в восьмеричной записи или «G» в шестнадцатеричной: программа назовёт символ и основание, а не выдаст неверный результат.
Простые числа до заданной границы
Режим решета строит все простые до N методом Эратосфена и показывает, сколько их, какая сумма, сколько пар-близнецов вида (p, p+2) и где встречается самый большой разрыв между соседними простыми. Таблица делит диапазон на десять равных участков, поэтому хорошо видно, как плотность простых постепенно убывает.
Оценка N / ln N из теоремы о распределении простых чисел даёт грубое приближение количества простых и всегда немного занижает его на малых N. Сравнение с точным значением полезно студентам и преподавателям: оно наглядно показывает, что теорема описывает поведение «в пределе», а не точное значение.
Формула расчёта
n = p₁^e₁ · … · pₖ^eₖ; τ(n) = ∏(eᵢ + 1); σ(n) = ∏(pᵢ^(eᵢ+1) − 1)/(pᵢ − 1); φ(n) = n · ∏(1 − 1/pᵢ)
Проверенные примеры
Нужно разложить 360 и узнать количество и сумму делителей.
360 = 2³ × 3² × 5; делителей 24, их сумма 1170, φ(360) = 96; число избыточное.
Числа 12, 18, 30 и 45.
НОД = 3, НОК = 180; числа не являются попарно взаимно простыми.
Перевести FF из системы 16 в систему 2.
FF₁₆ = 255₁₀ = 11111111₂, всего 8 бит.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите режим: одно число, список для НОД и НОК, перевод оснований или решето простых.
- Введите число, список или границу; при переводе укажите исходное и целевое основание.
- При необходимости включите дополнительные свойства и задайте число строк таблицы.
- Прочитайте показатели и скачайте таблицу делителей или систем счисления в Excel.