Определение и формула корня
Для неотрицательного числа x корень n-й степени записывают как ⁿ√x или x^(1/n). Эти записи равнозначны: показатель 1/n обращает возведение в степень n. Например, 1296^(1/4) = 6, потому что 6⁴ = 6 · 6 · 6 · 6 = 1296.
Если степень нечётна, у отрицательного числа есть вещественный корень, и он отрицателен: ³√(−27) = −3, ⁵√(−32) = −2. Калькулятор вычисляет такой корень через модуль числа и затем возвращает знак, поэтому результат корректен для любого знака подкоренного числа.
Чётные и нечётные степени
У чётной степени есть важное ограничение. Любое вещественное число в чётной степени неотрицательно: (−3)² = 9, (−2)⁴ = 16. Значит, корень чётной степени из отрицательного числа в вещественных числах не определён, и калькулятор выдаёт сообщение об ошибке.
Нечётные степени таких ограничений не имеют. Кроме того, для неотрицательного x корень любой степени единственный, а корень из нуля — всегда нуль. Если в задаче нужны комплексные значения, потребуется специальный инструмент: здесь они не поддерживаются.
Примеры и проверка
Корень пятой степени из −32 равен −2, а корень кубический из 0,001 — 0,1, поскольку 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,001. Квадратный корень из 2 иррационален, он равен примерно 1,414213562, а корень сотой степени из 10 близок к единице: около 1,023293.
Для проверки возведите результат в степень n, и вы получите исходное число с точностью до округления. Для иррациональных корней сравнивайте с допустимой погрешностью, потому что компьютерная арифметика хранит числа с ограниченным числом знаков.
Где применяются корни высокой степени
Корни разных степеней встречаются при расчёте средних значений: среднее геометрическое n чисел — это корень n-й степени из их произведения. Они нужны для сложных процентов, чтобы найти среднегодовую доходность: если капитал вырос в k раз за n лет, ежегодный множитель равен ⁿ√k.
В геометрии и физике корни третьей степени связывают объём и линейный размер: ребро куба с объёмом 125 равно ³√125 = 5. Корни четвёртой степени встречаются в законе излучения и в некоторых формулах инженерных расчётов.
Ограничения калькулятора
Допускаются только целые степени от 1 до 100: десятичные показатели, вроде корня степени 2,5, лучше считать через возведение в степень. Подкоренные числа по модулю ограничены пределами общего движка, а результат вычисляется в стандартной двоичной арифметике.
Из-за округления у иррациональных корней последние знаки могут отличаться от «бумажного» расчёта. Для учебных заданий, где ответ должен быть точным, сначала попробуйте разложить подкоренное число на множители, а калькулятор используйте для проверки.
Формула расчёта
ⁿ√x = x^(1/n)
Проверенные примеры
Найдите ⁴√1296.
6 · 6 · 6 · 6 = 1296, значит ⁴√1296 = 6.
Найдите ³√(−27).
(−3)³ = −27, значит ³√(−27) = −3.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите подкоренное число.
- Укажите степень корня: 2 — квадратный, 3 — кубический и так далее.
- Нажмите «Рассчитать» и сверьте результат возведением в степень n.