Закон Гука и наклон диаграммы
В упругой области напряжение пропорционально относительной деформации: σ = E · ε. Коэффициент пропорциональности E и есть модуль упругости. На диаграмме он совпадает с наклоном прямолинейного участка. Единица напряжения здесь мегапаскаль (Н/мм²), деформация безразмерна, поэтому и модуль выражается в МПа.
Для точек из примера с деформациями от 0,0005 до 0,0025 и напряжениями от 104,5 до 523 МПа получаем E ≈ 209 200 МПа, то есть около 209,2 ГПа. Для сравнения порядок величины для конструкционной стали — около 200 ГПа, для алюминиевых сплавов — около 70 ГПа; это ориентир для проверки здравого смысла, а не нормативное значение.
Зачем нужна регрессия, а не одна пара точек
Каждое измерение содержит случайную погрешность. Если взять только одну пару «напряжение — деформация», ошибка ляжет на модуль целиком. Метод наименьших квадратов использует все точки и усредняет шум, поэтому наклон оказывается устойчивее.
Свободный член a показывает сдвиг прямой по оси напряжений. В примере a ≈ 0,7 МПа — малая величина по сравнению с рабочими напряжениями. Заметный свободный член обычно связан с выбиранием зазоров в захватах или с нулём прибора, и на модуль он влияет мало: важен именно наклон.
Единицы: безразмерная деформация
Относительная деформация равна изменению базы, делённому на начальную базу: ε = Δl / l₀. Её вводят в долях, а не в процентах. Деформация 0,1 % записывается как 0,001. Типичная ошибка — ввести 0,1; тогда модуль получится меньше настоящего в сто раз.
Напряжение рассчитывается как сила, делённая на начальную площадь сечения образца. Если силу измеряли в килоньютонах, а площадь в квадратных миллиметрах, учтите множитель 1000. Калькулятор принимает уже готовые значения напряжений.
Какие точки брать в выборку
Берут только прямолинейный упругий участок. В начале испытания диаграмма часто искривляется из-за выбирания зазоров и приработки захватов, а ближе к пределу пропорциональности линейность нарушается. Включение этих точек искажает наклон и снижает R².
Для проверки используйте R². В первом примере он равен 1,0000, то есть точки лежат на прямой почти идеально. Если значение заметно ниже единицы, уберите крайние точки и повторите расчёт. Для алюминиевого образца из тестовых данных получается E ≈ 71,0 ГПа.
Откуда берут деформацию
Деформацию следует измерять экстензометром на рабочей базе образца или тензорезисторами. Если вычислять её по перемещению траверсы испытательной машины, в результат попадёт податливость самой машины и захватов, и модуль получится заниженным.
Поэтому по перемещению траверсы можно оценить лишь условный модуль для качественного сравнения. Для расчётов прочности допустимо использовать значение, полученное по корректной базе измерений или по паспорту материала.
Границы применимости и ориентировочный характер расчёта
Метод применим только к линейному упругому участку. Он не определяет предел текучести, предел прочности и другие характеристики, а также не учитывает температуру, скорость нагружения и анизотропию материала. Нормативы и коэффициенты запаса в формулу не вшиты.
Результат относится к испытанному образцу и является ориентировочным. Для проектных расчётов используют значения из действующих норм, сертификатов и паспортов материала, а при ответственных решениях — аттестованные испытания.
Формула расчёта
σ = a + E · ε, E = Σ(εᵢ − ε̄)(σᵢ − σ̄) / Σ(εᵢ − ε̄)²
Проверенные примеры
ε: 0,0005; 0,001; 0,0015; 0,002; 0,0025; σ: 104,5; 211; 314; 420; 523 МПа.
E ≈ 209 200 МПа ≈ 209,2 ГПа, a ≈ 0,7 МПа, R² ≈ 1,0000.
Прямая из первого примера.
σ = 0,7 + 209 200 × 0,003 ≈ 628 МПа.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите точки только упругого линейного участка диаграммы.
- Введите относительные деформации (мм/мм, не в процентах) и напряжения в МПа через пробел.
- Нажмите «Вычислить» и возьмите значение «Наклон» как модуль упругости в МПа.
- Разделите его на 1000, чтобы получить ГПа, и посмотрите R²: он должен быть близок к единице.