Какая схема выбора предполагается
Экзаменатор выбирает вопросы случайно из общего перечня, и один вопрос не может достаться дважды. Это выбор без возвращения: после каждого шага доля выученных вопросов среди оставшихся меняется, поэтому простое умножение долей даёт лишь приближённую оценку.
Если в билете фиксированный набор вопросов, считайте единицей весь билет и вводите число билетов. Если вопросы из разных разделов выбираются независимо, считайте каждый раздел отдельно и перемножайте вероятности.
Формула и смысл величин
Вероятность ровно k выученных равна P = C(M, k)·C(N − M, n − k) / C(N, n). Числитель — число способов выбрать k выученных вопросов из M и недостающие невыученные из N − M, знаменатель — число всех способов выбрать n вопросов из N.
Ограничения естественны: M не больше N, n не больше N, а k не больше n. Если требуемое число выученных превышает их общее количество, вероятность равна нулю, и калькулятор показывает именно это.
Разбор на числах: 30 вопросов, выучено 24
Пусть выбираются два вопроса. Способов выбрать любую пару — 435. Пар, где оба вопроса выучены, — 276, поэтому вероятность равна 0,6345. Ровно один выученный даёт 24·6 = 144 пары, то есть 0,3310, а оба невыученных — 15 пар, то есть 0,0345.
Сумма трёх вероятностей равна единице: 276 + 144 + 15 = 435. Это удобная самопроверка. Вероятность «хотя бы один выученный» составляет 1 − 0,0345 = 0,9655, то есть почти 97 %.
Чем отличается от выбора с возвращением
Доля выученного здесь равна 24/30 = 0,8, и оценка «0,8 во второй степени» даёт 0,64, а точное значение — 0,6345. Разница мала при большом перечне, но заметна при малом. Для трёх вопросов из 50 при доле 0,8 приближение даёт 0,512 против точных 0,5041.
Чем больше перечень по сравнению с числом доставшихся вопросов, тем ближе схемы. Для небольших перечней, как на устных экзаменах, нужно использовать точную формулу.
Как использовать результат при подготовке
Меняя число выученных вопросов M, можно увидеть, как растёт шанс на удачное сочетание. Прирост вероятности от каждого дополнительного билета обычно уменьшается, и расчёт помогает понять, где дальнейшая подготовка даёт меньше всего.
Но вероятность удачного вопроса не равна вероятности хорошей оценки. На итог влияют глубина знаний, дополнительные вопросы и требования экзаменатора, поэтому цифра служит лишь ориентиром, а не планом на удачу.
Ограничения расчёта
Калькулятор считает вероятность ровно k выученных. Для условия «не менее k» сложите вероятности нужных исходов вручную. Предполагается честный случайный выбор; если правила экзамена иные, например билеты выдаются по списку, расчёт неприменим.
Частично выученные вопросы лучше разделить на уверенные и неуверенные и учесть только первые. Тогда оценка станет осторожнее и ближе к реальному результату.
Формула расчёта
P(X = k) = C(M, k) · C(N − M, n − k) / C(N, n)
Проверенные примеры
В перечне 30 вопросов, вы выучили 24. На экзамене достаются 2 случайных вопроса. Какова вероятность, что оба выучены?
P = C(24, 2) / C(30, 2) = 276 / 435 = 0,6345. Ровно один выученный: 24·6 / 435 = 0,3310; ни одного: 15 / 435 = 0,0345.
Какова вероятность, что все три доставшихся вопроса выучены?
P = C(40, 3) / C(50, 3) = 9 880 / 19 600 = 0,5041.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите общее число билетов или вопросов в перечне и сколько из них выучено.
- Укажите, сколько вопросов достанется на экзамене, и сколько выученных вы хотите получить.
- Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть вероятность ровно такого исхода.