Идея: наименьшее общее кратное
Первый цикл возвращается к началу через a, 2a, 3a… дней, второй — через b, 2b, 3b… дней. Оба вернутся одновременно в первый момент, который встречается в обоих списках. Это и есть НОК(a, b).
Вычисляют НОК через НОД: НОК(a, b) = a·b / НОД(a, b). Деление на НОД убирает общие множители, чтобы не считать их дважды.
Разбор примера
График «3 дня работы, 3 выходных» повторяется каждые 6 дней, график «4 и 4» — каждые 8. НОД(6, 8) = 2, а НОК = 6·8/2 = 24. Значит, через 24 дня оба графика одновременно начнутся заново.
Для дежурства через 7 дней и обхода через 4 дня НОД равен 1, поэтому НОК равен 7·4 = 28. Взаимно простые длины циклов совпадают реже всего.
Начальное условие: общий старт
Результат верен, если оба цикла стартовали в один и тот же день. Если один график начался на два дня позже, его фаза сдвинута, и совпадение «начало с началом» уже не работает.
Тогда нужно решать более общую задачу о сдвинутых циклах. Эта страница отвечает на вопрос только о совместном возвращении к началу.
Что даёт НОД
Большой НОД означает, что циклы тесно связаны: они совпадают часто. Для 6 и 8 НОД равен 2, поэтому НОК составляет 24 вместо 48. Для 12 и 18 НОД равен 6, НОК — 36.
Если НОД равен длине меньшего цикла, меньший цикл укладывается в больший целое число раз, и совпадение наступает через длину большего цикла.
Границы применения
Реальные графики нарушаются праздниками, больничными и подменами. Калькулятор показывает идеальную периодичность, поэтому для фактического планирования его результат лучше сверять с календарём.
Также он не отвечает, какие именно дни внутри цикла совпадут: например, выходной у одного и рабочий у другого. Для этого потребуется построить расписание по датам.
Три и более цикла
Для трёх циклов НОК находят последовательно: сначала для первых двух, затем для результата и третьего числа. Для циклов 4, 6 и 10 дней НОК(4, 6) = 12, а НОК(12, 10) = 60. Значит, все три совпадут через 60 дней.
В калькуляторе можно выполнить эти шаги вручную: введите первую пару, возьмите НОК и введите его вместе с третьей длиной. Порядок не важен, результат будет тем же.
При росте числа циклов период совпадения быстро увеличивается: несколько взаимно простых длин дают очень большой НОК. Поэтому в сложных расписаниях полное совпадение всех циклов практически не наступает, и планировать нужно по частичным совпадениям.
Как найти конкретную дату совпадения
Чтобы получить календарную дату, прибавьте найденный НОК к дате общего старта. Если оба графика начались 1 июня, а НОК равен 24, следующее совпадение начала циклов придётся на 25 июня. Для этого можно использовать калькулятор сдвига даты на заданное число дней.
Все последующие совпадения наступают через каждые НОК дней: 24, 48, 72 и так далее. Эти даты удобно отметить в календаре, если нужно заранее знать, когда обе смены снова начнутся одновременно.
Формула расчёта
НОК(a, b) = a·b / НОД(a, b)
Проверенные примеры
Первый график — 3 дня работы и 3 выходных (цикл 6), второй — 4 и 4 (цикл 8). Через сколько дней оба вернутся к старту?
НОД(6, 8) = 2, НОК = 6·8/2 = 24. Через 24 дня оба графика начнутся заново одновременно.
Дежурство каждые 7 дней и обход каждые 4 дня стартовали вместе. Когда совпадут снова?
НОК(7, 4) = 28: через 28 дней.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Определите длину каждого цикла в днях от начала до повторения.
- Введите длины в два поля.
- Нажмите «Вычислить»: НОК покажет, через сколько дней циклы совпадут вновь.