Теорема косинусов для треугольной фермы
Треугольник однозначно определяется тремя сторонами, поэтому по ним можно найти любой угол. Угол A против затяжки находится из соотношения cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), угол B — аналогично через стороны a, b и c. Третий угол получают вычитанием двух найденных из 180°.
Для фермы пролётом 6 м со стропилами по 3,6 м получаем cos B = (36 + 12,96 − 12,96) / (2 × 6 × 3,6) ≈ 0,8333. Отсюда B = C ≈ 33,56°, а угол в коньке A ≈ 112,89°. Сумма углов сходится к 180°, и это простой способ проверить ввод.
Как обозначить стороны на ферме
Затяжка — нижний пояс, и её длина вводится как сторона a. Тогда угол A оказывается в коньке, а углы B и C — у опор, на которых ферма лежит на мауэрлате. Для симметричной фермы углы у опор одинаковы, и именно они задают угол ската кровли.
Длины нужно мерить по осям элементов между узлами, а не по габаритам брусьев с учётом выпусков. Если стропильные ноги выступают за опору, свесом пренебрегают: он не влияет на форму треугольника, но увеличит измеренную длину ноги, если включить его в замер.
От угла к уклону и высоте конька
Угол ската удобно перевести в уклон: он равен тангенсу угла, умноженному на 100. Для угла 33,56° тангенс составляет около 0,663, то есть уклон около 66 %. Высота конька над затяжкой равна √(3,6² − 3²) ≈ 1,99 м.
Этот уклон сравнивают с допустимым для выбранного покрытия: требования задаёт изготовитель материала и проект. Калькулятор такой проверки не выполняет и пределов не содержит. Для шаблона вертикального реза на конце стропила угол между срезом и осью ноги равен 90° − α, здесь около 56,4°.
Несимметричные фермы
Если ноги разной длины, углы у опор различаются. Для затяжки 6 м и ног 3,2 м и 4,1 м получаются A ≈ 109,94°, B ≈ 30,09° и C ≈ 39,97°. Меньший угол лежит против самой короткой стороны, а наибольший угол — против самой длинной.
Такие фермы применяют на односкатных и несимметричных двускатных кровлях, мансардах и пристройках. Полезно проверить, не получился ли угол у одной из опор слишком крутым или пологим для выбранного материала покрытия, и сверить результат с проектом.
Ошибки ввода и предельные случаи
Каждая сторона обязана быть строго меньше суммы двух других. Если затяжка равна сумме стропил, ферма вырождается в прямую линию, а угол в коньке становится равным 180°. Калькулятор отклоняет такие данные, потому что реальная ферма с нулевой высотой невозможна.
Заметно пологая ферма с пролётом 10 м и стропилами по 5,1 м даёт угол у опоры около 11,4° и угол в коньке около 157,3°. Небольшая погрешность замера длины на таких фермах сильно меняет угол, поэтому длины нужно измерять с точностью до сантиметра.
Границы применимости и ориентировочный характер расчёта
Расчёт плоский и чисто геометрический. Он не проверяет прочность элементов и узлов, не учитывает снеговую и ветровую нагрузки, толщину брусьев и способ крепления. Нормативные значения, коэффициенты запаса и допустимые уклоны в формулу не вшиты и определяются проектом.
Результат ориентировочный и годится для чернового подбора шаблонов и проверки замеров. Окончательные размеры и углы реза фиксируют по проекту фермы и по фактической разметке на месте, с проверкой угломером или шаблоном.
Формула расчёта
cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), cos B = (a² + c² − b²) / (2ac), C = 180° − A − B
Проверенные примеры
a = 6 м, b = c = 3,6 м.
cos B = (36 + 12,96 − 12,96) / (2 × 6 × 3,6) = 0,8333; B = C ≈ 33,56°, A ≈ 112,89°.
a = 6 м, b = 3,2 м, c = 4,1 м.
A ≈ 109,94°, B ≈ 30,09°, C ≈ 39,97°.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Измерьте длину затяжки и обеих стропильных ног по осям элементов в метрах.
- Введите затяжку как сторону a, стропильные ноги как стороны b и c.
- Выберите градусы или радианы и нажмите «Вычислить».
- Угол A получите в коньке, углы B и C — у опор; они равны углу ската для симметричной фермы.