Уравнение и его решение
Согласно закону Ньютона, скорость изменения температуры пропорциональна разности температуры тела и среды: dT/dt = −k(T − T_ср). Коэффициент k имеет размерность обратного времени и характеризует скорость теплообмена конкретной установки.
Решение имеет вид T(t) = T_ср + (T₀ − T_ср)·e^(−kt). Через время ln 2 / k избыток температуры над средой уменьшается вдвое. При k = 0,05 мин⁻¹ этот промежуток составляет 13,86 мин, независимо от того, горячим был раствор или тёплым.
Числовые примеры
Раствор при 80 °C поместили в комнату при 20 °C, k = 0,05 мин⁻¹. Через 10 мин разность 60 °C умножается на e^(−0,5) ≈ 0,6065, поэтому температура равна 20 + 36,39 = 56,39 °C. Через 30 мин температура составит уже около 33,4 °C.
Закон работает и при нагреве: смесь, охлаждённая до 5 °C и внесённая в помещение с 25 °C, при k = 0,1 мин⁻¹ достигнет за 15 мин 20,54 °C. При k = 0 теплообмена нет и температура остаётся прежней, а при равенстве начальной температуры и температуры среды ничего не меняется при любом k.
Как определить коэффициент k
Коэффициент нельзя взять из таблицы: он зависит от формы сосуда, количества раствора, перемешивания и обдува. Достаточно двух измерений температуры T₁ и T₂ с промежутком Δt при известной температуре среды: k = ln((T₁ − T_ср)/(T₂ − T_ср)) / Δt.
Для 80 и 56,39 °C при 20 °C и промежутке 10 мин получаем ln(60/36,39)/10 ≈ 0,050 мин⁻¹. Надёжнее взять несколько точек и построить график ln(T − T_ср) от времени: для закона Ньютона он прямолинеен, а его наклон равен −k. Если точки отклоняются от прямой, закон неприменим.
Обратная задача: сколько ждать
Чтобы узнать время остывания до заданной температуры T, решите уравнение относительно t: t = ln((T₀ − T_ср)/(T − T_ср)) / k. Для остывания с 80 до 40 °C при температуре среды 20 °C и k = 0,05 мин⁻¹ получается ln 3 / 0,05 ≈ 21,97 мин.
Достичь самой температуры среды за конечное время невозможно, поэтому на практике задают допустимое отличие, например 1 °C. Для 60 °C начальной разности и k = 0,05 мин⁻¹ время до разности в один градус равно ln 60 / 0,05 ≈ 82 мин. Чтобы проверить такой результат в калькуляторе, введите время и сверьте температуру.
Связь с калориметрией и ограничения
В калориметрии теплообмен с окружением искажает измеряемый подъём температуры, поэтому график температуры от времени до и после реакции экстраполируют к моменту смешения. Закон Ньютона даёт теоретическую основу такой экстраполяции: на послереакционном участке температура затухает по экспоненте.
Модель предполагает однородную температуру в объёме и постоянную температуру среды. Она не учитывает испарение, кипение, кристаллизацию и тепловыделение продолжающейся реакции. При больших разностях температур, когда существенны излучение и конвекция, коэффициент k перестаёт быть постоянным и результат носит оценочный характер.
Формула расчёта
T(t) = T_ср + (T₀ − T_ср) · e^(−k·t)
Проверенные примеры
Раствор при 80 °C стоит в комнате при 20 °C, k = 0,05 мин⁻¹. Какова температура через 10 мин?
Разность 60 °C уменьшается в e^(−0,5) ≈ 0,6065 раз: T = 20 + 60 · 0,6065 ≈ 56,39 °C.
Охлаждённая смесь при 5 °C помещена в помещение с 25 °C, k = 0,1 мин⁻¹. Какова температура через 15 мин?
T = 25 + (5 − 25) · e^(−1,5) = 25 − 20 · 0,2231 ≈ 20,54 °C.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Измерьте начальную температуру смеси и температуру среды в градусах Цельсия.
- Введите коэффициент охлаждения k; если он неизвестен, оцените его по двум измерениям температуры, как описано в статье.
- Укажите время в тех же единицах, что и в коэффициенте k, и нажмите «Рассчитать».