Модель роста с постоянным изъятием
Изменение численности описывается уравнением dN/dt = r·N + b. Первое слагаемое — естественный прирост при удельной скорости r, второе — постоянное изъятие (b < 0) или приток (b > 0). Решение имеет вид N(t) = (N₀ + b/r)·e^(rt) − b/r.
При r = 0 формула вырождается в прямую N(t) = N₀ + b·t: популяция не растёт сама по себе, и численность меняется только за счёт изъятия или притока. Калькулятор обрабатывает этот случай отдельно.
Равновесие, которое легко потерять
Особая точка модели — равновесная численность N* = −b / r. При ней годовой прирост в точности равен изъятию, и численность не меняется. Для изъятия 100 особей в год и r = 0,2 равновесие равно 500 особям.
Это равновесие неустойчиво. Выше него популяция растёт всё быстрее, ниже — убывает и в конце концов исчезает. Даже небольшое падение численности ниже N* при неизменной квоте становится необратимым в рамках этой модели.
Числовой пример
Пусть в популяции 1000 особей, r = 0,2 в год, ежегодно изымают 100 особей. Равновесие равно 500, начальная численность выше него. Через 3 года N = (1000 − 500)·e^0,6 + 500 ≈ 1411 особей.
Если увеличить изъятие до 300 особей в год, равновесие станет 1500, выше начальной численности. Тогда за те же три года популяция сократится примерно до 589 особей, и дальше убывание будет продолжаться.
Полезно прогнать несколько сценариев: меняйте изъятие шагами по 50 особей и смотрите, при какой величине численность за выбранный срок перестаёт расти. Так проще увидеть границу равновесия, чем подбирать её вручную.
Приток особей и миграция
Положительное b описывает постоянный приток особей: переселение, выпуск выращенных животных или миграцию с соседних территорий. Такой приток может удержать популяцию от вымирания, даже если собственный прирост отрицателен.
При r < 0 и b > 0 численность стремится к устойчивому уровню b / |r|. Например, при r = −0,3 и b = 60 это 200 особей: популяция из 100 особей за четыре года вырастет примерно до 170.
Как читать результат
Результат — ожидаемая численность в особях на момент t. Отрицательное число означает, что в модели популяция исчезла раньше срока: считать дальше смысла нет. В таком случае сократите время расчёта или проверьте величину промысла.
Для оценки опасности сравните начальную численность с равновесной. Если N₀ ненамного выше N*, небольшая ошибка в оценке r или в учёте численности может превратить устойчивый промысел в истощающий.
Ограничения модели
Реальные популяции ограничены ёмкостью среды: при высокой плотности удельный рост падает. Поэтому экспоненциальный рост верен лишь на коротких интервалах и при малой плотности. Для длительных прогнозов лучше подходит логистическая модель.
Модель не учитывает возрастную структуру, сезонность размножения, случайные колебания и качество среды. Результат пригоден для учебных заданий и ориентировочных оценок, но не заменяет решений специалистов по охране и использованию ресурсов.
Для долгосрочного прогноза с насыщением используйте логистическую модель. Этот калькулятор подходит для коротких сроков и для сравнения вариантов изъятия при небольшой плотности популяции.
Формула расчёта
N(t) = (N₀ + b / r)·e^(r·t) − b / r; при r = 0: N(t) = N₀ + b·t
Проверенные примеры
N₀ = 1000, r = 0,2 1/год, изымают 100 особей в год (b = −100). Какова численность через 3 года?
Равновесие −b / r = 500. N(3) = (1000 − 500)·e^0,6 + 500 ≈ 500·1,822119 + 500 ≈ 1411,06 особей.
N₀ = 1000, r = 0,2, b = −300, t = 3 года. Что будет с популяцией?
Равновесие 1500 выше начальной численности, поэтому популяция убывает: N(3) = (1000 − 1500)·e^0,6 + 1500 ≈ 588,94 особи.
N₀ = 1500, r = 0,2, b = −300, t = 5 лет. Какова численность?
Прирост 0,2·1500 = 300 особей в год в точности равен изъятию, поэтому численность остаётся 1500.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Укажите начальную численность N₀ в особях.
- Введите удельную скорость роста r в 1/год (без учёта промысла).
- Введите b: изъятие — со знаком «−», приток — со знаком «+», в особях в год.
- Укажите время t в годах и нажмите «Рассчитать».
- Если результат отрицателен, популяция исчезла раньше срока.