Уравнение Ферхюльста и смысл параметров
Логистическое уравнение записывается как dN/dt = r · N · (1 − N/K). При малой плотности скобка почти равна единице, и популяция растёт со скоростью rN, то есть экспоненциально. Когда N приближается к K, множитель стремится к нулю, и прирост прекращается.
Параметр r называют удельной скоростью роста: это прирост на одну особь за единицу времени в отсутствие ограничений. Параметр K — ёмкость среды, предел, около которого стабилизируется численность. Оба параметра нужно оценивать для конкретных условий, а не брать из общих таблиц.
Формула решения и расчёт по шагам
Решение уравнения имеет вид N(t) = K / (1 + ((K − N₀)/N₀) · e^(−rt)). При t = 0 дробь превращается в N₀, а при росте t экспонента исчезает, и N стремится к K.
Для колонии с N₀ = 100, K = 1000 и r = 0,5 в сутки через 10 суток вычисляем e^(−5) ≈ 0,006738 и получаем N = 1000 / (1 + 9 · 0,006738) ≈ 942,8. Это 94 % от ёмкости среды, и дальнейший рост почти незаметен.
Точка перегиба и максимальный прирост
У логистической кривой есть особая точка: при N = K/2 прирост в единицу времени максимален и равен rK/4. До этого момента кривая выгибается вверх, после него — вниз. В нашем примере это 125 особей за сутки.
Время, за которое численность достигает половины ёмкости, равно t = ln((K − N₀)/N₀)/r, то есть примерно 4,39 суток для разобранных параметров. Эта величина удобна, чтобы сравнивать скорость роста разных культур или популяций между собой.
Сравнение с экспоненциальным ростом
При малой численности относительно ёмкости логистическая и экспоненциальная модели почти совпадают. Для N₀ = 100 и r = 0,5 экспоненциальный рост предсказал бы 14 841 особь через 10 суток, что в 15 раз превышает ёмкость среды, тогда как логистическая модель даёт 943.
Для вычисления времени удвоения на ранней стадии роста можно использовать выражение ln 2 / r, в нашем примере примерно 1,39 суток. По мере приближения к K удвоение становится невозможным, и этот показатель теряет смысл.
Границы модели и возможные ошибки
Модель предполагает постоянные r и K, мгновенную реакцию на плотность и однородную популяцию без возрастной структуры. Реальные популяции имеют лаг-фазу, колебания численности, эффект Олли при малой плотности и зависимость ёмкости среды от сезона.
Главная практическая ошибка — несогласованные единицы времени. Если r измерена в часах, а время задано в сутках, показатель экспоненты окажется завышен в 24 раза, и результат будет неверным. Также помните, что численность особей дискретна, поэтому дробные ответы нужно округлять.
Формула расчёта
N(t) = K / (1 + ((K − N₀) / N₀) · e^(−r·t))
Проверенные примеры
N₀ = 100, K = 1000, r = 0,5 в сутки, t = 10 суток. Какова численность?
Отношение (1000 − 100)/100 = 9, e^(−5) ≈ 0,006738. N = 1000 / (1 + 9 · 0,006738) ≈ 942,8.
При тех же параметрах найдите момент, когда численность достигает K/2 = 500.
t = ln((K − N₀)/N₀)/r = ln 9 / 0,5 ≈ 4,394. Подстановка в формулу даёт N = 500.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите начальную численность и ёмкость среды в одинаковых единицах: особях, клетках или килограммах биомассы.
- Укажите скорость роста r и время t в согласованных единицах времени: если r в сутках⁻¹, то и t в сутках.
- Нажмите «Рассчитать» и сравните результат с ёмкостью среды.