Почему число колоний подчиняется закону Пуассона
Если взвесь хорошо перемешана, вероятность попадания клетки в любую малую область чашки одинакова и не зависит от других клеток. При большом числе клеток и малой вероятности попадания число колоний становится пуассоновской случайной величиной с единственным параметром λ — средним.
Главная особенность закона: дисперсия равна среднему. Поэтому при среднем 100 колоний типичное отклонение составляет около 10, то есть 10 %, а при среднем 4 колониях — около 2, то есть 50 %. Чем меньше колоний, тем выше относительная неопределённость. Поэтому в лабораторной практике для подсчёта предпочитают чашки с десятками колоний, а точный счётный диапазон задаёт используемая методика.
Параметр λ нельзя измерить на одной чашке с абсолютной точностью, но его оценивают средним по нескольким параллелям. Чем больше суммарное число подсчитанных колоний, тем уже доверительный интервал для среднего.
Расчёт вероятности не менее k колоний
Вероятность не менее k равна единице минус сумма вероятностей получить 0, 1, …, k−1 колоний. Для λ = 2,5 и k = 3 нужно сложить P(0) = 0,0821, P(1) = 0,2052 и P(2) = 0,2565, что в сумме даёт 0,5438. Тогда P(X ≥ 3) = 0,4562.
Для редкого организма при λ = 0,2 вероятность хотя бы одной колонии равна 1 − e^(−0,2) = 0,1813. Это означает, что в одной чашке из пяти-шести колония выросла бы, а остальные оказались бы пустыми. Для надёжного обнаружения придётся увеличить объём посева.
Планирование посевов и параллелей
Если вы хотите быть почти уверены в обнаружении хотя бы одной колонии, среднее число должно быть заметно больше единицы. При λ = 5 вероятность хотя бы одной колонии уже 0,993, а при λ = 0,3 вероятность не менее двух составляет лишь 0,037.
Параллельные чашки уменьшают влияние случайности: по среднему из нескольких чашек оценка λ становится точнее. Число параллелей выбирают по методике, а калькулятор показывает, насколько вероятен тот или иной результат единичной чашки.
Когда модель Пуассона не работает
Скопления клеток, нитевидные организмы и неполное перемешивание приводят к избыточной дисперсии: числа колоний на чашках различаются сильнее, чем предсказывает закон. Тогда одна колония может вырасти из нескольких клеток сразу, и подсчёт занижает концентрацию.
Если разброс между параллелями заметно превышает среднее, ищите причину в подготовке пробы: перемешивании, разведении, объёме посева или условиях инкубации. Полезный диагностический признак — отношение выборочной дисперсии числа колоний к среднему: значения заметно выше единицы говорят о нарушении пуассоновского режима.
Ограничения и ответственное применение
Расчёт описывает идеализированную случайность и не заменяет стандартную методику подсчёта колониеобразующих единиц и контроль качества. Для санитарно-гигиенических и клинических исследований действуют собственные требования к числу чашек и допустимому диапазону.
Результат калькулятора годится для обучения, планирования лабораторной работы и оценки порядка вероятностей. Решения о безопасности продукции принимайте только по утверждённым методам. Если от результата зависит качество продукции, здоровье людей или соблюдение нормативов, подсчёт и интерпретацию поручают аттестованной лаборатории.
Формула расчёта
P(X ≥ k) = 1 − Σ e^(−λ) · λ^i / i! (i от 0 до k−1)
Проверенные примеры
Среднее число колоний на чашке 2,5. Какова вероятность увидеть не менее трёх?
P(X ≥ 3) = 1 − e^(−2,5)·(1 + 2,5 + 3,125) ≈ 0,4562.
При сильном разведении ожидается 0,2 колонии на чашке. Какова вероятность хотя бы одной колонии?
P(X ≥ 1) = 1 − e^(−0,2) ≈ 0,1813, то есть около 18 %.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Оцените среднее число колоний на чашке по предыдущим посевам или по расчёту из разведения.
- Введите λ и порог k.
- Нажмите «Вычислить» и получите вероятность не менее k колоний.
- Сравните результат с долей чашек, на которых фактически вырос такой результат.