Деление и геометрическая прогрессия
При бинарном делении каждая клетка даёт две дочерние, поэтому за поколение численность умножается на 2. Если делятся не все клетки или часть погибает, кратность оказывается между 1 и 2; калькулятор допускает любое значение кратности в разумных пределах.
Последовательность численностей N₁, N₂, N₃ … имеет постоянное отношение соседних членов, равное r. Это определение геометрической прогрессии, и для неё существует готовая формула n-го члена, избавляющая от пошаговых вычислений.
Нумерация поколений и формула
Формула имеет вид Nₙ = N₁·rⁿ⁻¹. Показатель степени на единицу меньше номера, потому что первый подсчёт — это уже существующее поколение, а умножения начинаются со второго. Поэтому после k делений вводят n = k + 1.
Самая частая ошибка — подставить число делений вместо номера и получить результат, занижённый ровно в r раз. Проверка простая: при n = 1 численность равна исходной, а при n = 2 — исходной, умноженной на r.
Числовые примеры
Пусть в первом подсчёте 1000 клеток, r = 2, и нужно узнать численность после шести делений, то есть при n = 7. Получаем 1000·2⁶ = 64 000 клеток. Сумма первых семи поколений равна 1000·(2⁷ − 1) = 127 000.
Второй пример: 500 клеток, r = 1,5, пятое поколение. Численность равна 500·1,5⁴ = 2531,25, то есть около 2531 клетки, а сумма первых пяти поколений — 6593,75. Дробные значения возникают из-за расчётной модели; реальный подсчёт даёт целые числа, поэтому результат округляют до целого числа клеток.
Что показывает сумма по поколениям
Сумма Sₙ = N₁·(rⁿ − 1)/(r − 1) складывает численности всех поколений. Для деления пополам она равна 2Nₙ − N₁, то есть чуть меньше удвоенной численности последнего поколения: в первом примере 127 000 против 2·64 000 = 128 000. Это следует из того, что каждый член прогрессии равен сумме всех предыдущих плюс исходная численность.
Эту величину используют редко, например при оценке суммарного числа клеток, прошедших через все стадии роста. Для текущей плотности культуры достаточно численности в нужном поколении, а накопленная сумма важна скорее как иллюстрация быстрого роста: при r = 2 последнее поколение составляет около половины всех клеток, когда-либо существовавших в модели. Для других кратностей эта доля меняется: чем меньше r, тем меньше вклад последнего поколения в общую сумму, и тем заметнее вклад ранних поколений.
Пределы модели и применимость
Реальная кривая роста проходит лаг-фазу, экспоненциальную и стационарную фазы, затем фазу отмирания. Формула описывает только экспоненциальную часть и при большом n даёт нереалистично огромные числа: ресурсы среды ограничивают рост задолго до этого.
Расчёт не заменяет подсчёт колониеобразующих единиц или измерение оптической плотности и не предназначен для клинических, пищевых и санитарных решений. Он годится для учебных задач, прикидок и проверки порядка величины. Если известно время генерации, число поколений находят делением времени культивирования на время генерации и округляют до целого, а затем прибавляют единицу для нумерации.
Формула расчёта
Nₙ = N₁ · rⁿ⁻¹, Sₙ = N₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1)
Проверенные примеры
В первом подсчёте 1000 клеток, каждое поколение вдвое больше предыдущего. Сколько клеток в седьмом поколении (после шести делений)?
N₇ = 1000 · 2⁶ = 64 000 клеток; сумма первых семи поколений S₇ = 1000 · (2⁷ − 1) = 127 000.
Начальная численность 500, кратность 1,5 за поколение. Какова численность в пятом поколении?
N₅ = 500 · 1,5⁴ = 500 · 5,0625 = 2531,25; сумма первых пяти S₅ = 500 · (1,5⁵ − 1) / 0,5 = 6593,75.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите число клеток в первом подсчёте и кратность роста за одно поколение (для деления пополам оставьте 2).
- Укажите номер поколения: число делений плюс один.
- Нажмите «Вычислить» и прочитайте численность в этом поколении и накопленную сумму.
- Сопоставьте результат с условиями опыта: расчёт справедлив только для фазы устойчивого размножения.