Идея линейной интерполяции эфемериды
Если между моментами t₁ и t₂ координата изменилась с y₁ до y₂, а нужный момент t* лежит внутри интервала, то y(t*) = y₁ + (t* − t₁)/(t₂ − t₁)·(y₂ − y₁). Другими словами, берётся доля интервала, которая прошла, и переносится на изменение координаты.
Для таблицы в три колонки — время, прямое восхождение и склонение — интерполяцию выполняют отдельно для каждой координаты. В калькулятор вводятся моменты и значения одной координаты за раз.
Пример: склонение в 9 часов и в 20,5 часа
Пусть склонение светила по условной эфемериде равно −12,480°; −12,395°; −12,301°; −12,200° и −12,090° в моменты 0; 6; 12; 18; 24 ч. Для 9 ч интервал 6–12 ч, доля 0,5, изменение за интервал 0,094°, значит δ = −12,395 + 0,047 = −12,348°.
Для 20,5 ч интервал 18–24 ч, доля 2,5/6 ≈ 0,4167, изменение 0,110°, и δ ≈ −12,154°. Эфемерида условная и не относится к реальному светилу.
Как оценить ошибку
Линейная интерполяция точна, если координата меняется строго по прямой. Если скорость светила меняется, наибольшая ошибка в середине интервала примерно равна h²·y″/8, где h — шаг таблицы, y″ — вторая производная координаты по времени. Практический способ проверки: интерполировать по узлам через один, затем по каждому и сравнить результаты.
Для медленных планет и шага в несколько часов ошибка обычно мала. Для Луны, которая за час смещается примерно на полградуса, и для быстрых близких астероидов шаг нужно брать меньше или применять интерполяцию высшего порядка.
Прямое восхождение и переход через 0 ч
Прямое восхождение растёт от 0 до 24 ч (0–360°) и затем начинает заново. Если в таблице значения идут, например, 359,8° и 0,1°, прямая интерполяция даст ерунду. Прибавьте к значениям после перехода 360°, получите 359,8° и 360,1°, интерполируйте и вычтите 360° из результата.
Склонение таких разрывов не имеет, но может переходить через ноль, и тогда интерполяция работает как обычно: между −0,5° и 0,7° середина интервала даёт 0,1°.
Границы применимости
Момент должен лежать внутри таблицы: экстраполяция не выполняется. Все моменты нужно задавать в одной шкале времени, например в часах всемирного времени от начала суток, а координаты — в одной системе (экваториальной, эклиптической) и на одну эпоху.
Метод учебный и не заменяет специализированные программы для наведения телескопа или навигации по небесным светилам.
Формула расчёта
y(t*) = y₁ + (t* − t₁)/(t₂ − t₁) · (y₂ − y₁), t₁ ≤ t* ≤ t₂
Проверенные примеры
Склонение в 6 и 12 ч равно −12,395° и −12,301°.
Доля 3/6 = 0,5, δ = −12,395 + 0,5·0,094 = −12,348°.
Склонение в 18 и 24 ч равно −12,200° и −12,090°.
Доля 2,5/6 ≈ 0,4167, δ = −12,200 + 0,4167·0,110 ≈ −12,154°.
Момент 12 ч совпадает со строкой таблицы.
Значение берётся из таблицы без изменений: −12,301°.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выпишите из эфемериды несколько последовательных моментов и значения одной координаты в градусах.
- Введите моменты в первое поле, значения координаты — во второе, в том же порядке.
- Укажите момент t*, для которого нужна координата, внутри диапазона таблицы.
- Нажмите «Вычислить» и сравните результат с соседними узлами таблицы.