Вывод из закона сохранения энергии
Тело массой m на расстоянии r от центра обладает кинетической энергией mv²/2 и потенциальной энергией −μm/r. Чтобы оно ушло на бесконечность, где потенциальная энергия равна нулю, а скорость может стремиться к нулю, полная энергия должна быть неотрицательной: mv²/2 − μm/r ≥ 0.
Минимальная скорость отвечает нулевой полной энергии, откуда v² = 2μ/r и v = √(2μ/r). Масса тела m сокращается, поэтому скорость убегания не зависит от его массы. Траектория при такой скорости — парабола, потому вторую космическую называют ещё параболической скоростью.
Гравитационный параметр μ
Величина μ = G·M — произведение постоянной тяготения на массу центрального тела. Её удобно использовать, потому что из наблюдений движения спутников определяется непосредственно μ, а G и M по отдельности известны гораздо хуже. Для Земли μ = 3,986004418·10¹⁴ м³/с², для Луны около 4,9028·10¹², для Марса около 4,283·10¹³.
Если μ неизвестна, её приближённо находят по ускорению свободного падения на поверхности и радиусу: μ ≈ g·R². Для Земли 9,81 · (6,371·10⁶)² ≈ 3,982·10¹⁴, что отличается от точного значения примерно на одну десятую процента.
Связь с первой космической скоростью
Скорость круговой орбиты на расстоянии r равна v₁ = √(μ/r), и вторая космическая скорость отличается от неё ровно в √2 ≈ 1,4142 раза. У поверхности Земли v₁ ≈ 7,91 км/с, v₂ ≈ 11,19 км/с. Поэтому с круговой орбиты для ухода достаточно прибавить около 41 процента скорости.
С увеличением высоты скорость убегания падает как 1/√r. На высоте 408 км, где r = 6 779 км, она составляет около 10,84 км/с, а на геостационарной орбите при r ≈ 42 164 км — около 4,35 км/с. Именно поэтому разгонные блоки запускают с низких орбит выгоднее, чем с поверхности.
Числовые примеры
Для Земли: 2μ/r = 2 · 3,986004418·10¹⁴ / 6,371·10⁶ ≈ 1,2514·10⁸ м²/с², откуда v ≈ 11 186 м/с. Для Луны: 2 · 4,9028·10¹² / 1,7374·10⁶ ≈ 5,644·10⁶, откуда v ≈ 2376 м/с. Для Марса получается около 5027 м/с, для Венеры около 10 361 м/с, для Меркурия около 4250 м/с.
Эти числа объясняют, почему у Луны почти нет атмосферы: даже лёгкие молекулы газа при высоких температурах время от времени получают скорость, близкую к её скорости убегания, и постепенно покидают спутник. Земля удерживает азот и кислород, потому что их тепловые скорости заметно ниже 11 км/с.
Ограничения простой модели
Формула учитывает притяжение только одного тела. Реальный полёт с Земли на межпланетную траекторию происходит в поле Солнца и Луны, а гравитационные манёвры и вращение планеты меняют потребную скорость. Атмосферное сопротивление и гравитационные потери при выводе увеличивают реальные затраты ещё на 1–2 км/с.
Расчёт справедлив для расстояний вне тела; внутри планеты потенциал иной. Поле ввода для μ ограничено значением 10¹⁵ м³/с², поэтому для газовых гигантов и Солнца используйте формулу вручную. Для всех твёрдых планет и спутников диапазона достаточно.
Формула расчёта
v₂ = √(2μ / r) = √2 · v₁
Проверенные примеры
Радиус Земли 6 371 000 м, μ = 3,986004418·10¹⁴ м³/с². Найдите скорость убегания.
2μ/r = 7,972·10¹⁴ / 6,371·10⁶ ≈ 1,2514·10⁸ м²/с². Корень равен примерно 11 186 м/с, то есть около 11,2 км/с.
Радиус Луны 1 737 400 м, μ = 4,9028·10¹² м³/с². Какова скорость убегания?
2μ/r = 9,8056·10¹² / 1,7374·10⁶ ≈ 5,644·10⁶. Корень равен примерно 2375,7 м/с, то есть около 2,38 км/с.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите расстояние от центра тела в метрах: радиус для поверхности или радиус плюс высота.
- Укажите гравитационный параметр μ в м³/с², например 3.986e14 для Земли.
- Нажмите «Рассчитать» и получите скорость убегания.
- Разделите результат на 1000, чтобы перевести метры в секунду в километры в секунду.