Что такое линейная эфемерида
Если планета обращается по устойчивой орбите, транзиты повторяются через равные промежутки. Момент транзита номер E равен Tₑ = T₀ + P·E, где T₀ — момент опорного транзита, а P — период. Это прямая на графике «момент — номер эпохи», и её наклон равен периоду в сутках.
Метод наименьших квадратов находит такую прямую, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых моментов была минимальной. Этим учитываются все наблюдения сразу, а ошибка отдельного транзита, обычно около минуты или нескольких минут, частично компенсируется остальными.
Как подготовить данные
Каждому наблюдённому транзиту нужны момент его середины и номер эпохи. Нулевой эпохой назначьте любой надёжный транзит, обычно первый. Если после него прошло три периода, номер равен 3. Допустимы пропуски: если транзиты 4–11 не наблюдались, следующий записывается как E = 12.
Моменты выражают в юлианских датах в одной шкале, предпочтительно барицентрической. Чтобы не вводить длинные числа, вычтите общее целое число, например 2459000, из всех моментов. Это не меняет периода, но облегчает проверку данных глазами.
Пример: шесть подряд идущих транзитов
Номера эпох 0–5, моменты 0,4512; 2,6702; 4,8875; 7,1068; 9,3241; 11,5435 (юлианская дата минус 2459000). Калькулятор возвращает период 2,21836 сут, то есть около 53,24 часа, и T₀ = 0,45132 сут. R² = 0,99999998, наблюдений — 6.
Прогноз для эпохи 40 даёт момент 89,1856, то есть юлианскую дату 2459089,1856. Отклонения отдельных точек от прямой не превышают 0,0007 сут (одной минуты), так что результат согласуется с точностью измерений.
Почему важна длинная база
Ошибка периода убывает по мере роста числа циклов между первым и последним транзитом: ошибка момента делится на число прошедших эпох. Периодом, найденным по двум соседним транзитам, нельзя уверенно предсказывать события на месяцы вперёд, а период по транзитам, разнесённым на десятки циклов, пригоден для этого.
Во втором примере эпохи 0, 5, 12, 20 и 31 дают период 2,218395 сут и T₀ = 0,45135 сут. Разница с первым примером — меньше одной десятитысячной суток, зато прогноз на эпоху 60 даёт момент около 133,555 и менее чувствителен к случайным ошибкам.
Как относиться к R² и остаткам
R² близок к единице почти всегда, ведь моменты растут вместе с номером эпохи. Поэтому значение 0,99999998 само по себе не говорит о высокой точности. Полезнее смотреть на отклонения моментов от прямой, или остатки, и сравнивать их с ожидаемой погрешностью наблюдений.
Систематический изгиб остатков по эпохам может быть признаком вариаций времён транзитов, например из-за притяжения другой планеты. Но к такому выводу приходят только после отдельного анализа с учётом ошибок. Калькулятор остатков не выводит и этих заключений не делает.
Границы применимости
Модель предполагает постоянный период. Он нарушается, если орбита заметно прецессирует, планета теряет вещество или система нестабильна. Главная опасность на практике — неверно назначенный номер эпохи при длинных пропусках: ошибка в один цикл меняет период и приводит к ложному прогнозу.
Калькулятор не оценивает погрешности и не заменяет профессиональной подгонки с весами. Для планирования наблюдений пользуйтесь прогнозом с запасом по времени, начиная наблюдение за полчаса–час до расчётного момента.
Формула расчёта
Tₑ = T₀ + P·E, P = Σ(Eᵢ − Ē)(Tᵢ − T̄) / Σ(Eᵢ − Ē)²
Проверенные примеры
E = 0…5, моменты 0,4512; 2,6702; 4,8875; 7,1068; 9,3241; 11,5435 сут (юлианская дата минус 2459000). Прогноз для E = 40.
P ≈ 2,21836 сут ≈ 53,24 ч, T₀ ≈ 0,45132 сут, R² ≈ 0,99999998. Транзит в эпоху 40 ожидается в момент ≈ 89,1856 (юлианская дата 2459089,1856).
E = 0, 5, 12, 20, 31, моменты 0,4516; 11,5426; 27,0723; 44,8199; 69,2212 сут.
P ≈ 2,218395 сут, T₀ ≈ 0,45135 сут. Длинная база делает период точнее: ошибка момента делится на число пройденных циклов.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Для каждого наблюдённого транзита определите момент середины в юлианских датах в одной шкале времени.
- Присвойте номера эпох E: выберите первый транзит нулевым и посчитайте, сколько периодов прошло до остальных.
- Введите номера эпох и моменты в одном порядке, а также номер эпохи для прогноза.
- Нажмите «Вычислить»: наклон — период в сутках, свободный член — момент нулевой эпохи, прогноз — время транзита.